Ознака сталості функції. Умови зростання і спадання функції

Щоб краще опанувати матеріал, дайте відповіді на запитання.

1. Сформулюйте означення функції , що зростає ( спадає ) на проміжку.

 2. Опишіть “поведінку“ графіка функції на проміжках її зростання та спадання.

Перевіряємо !

 Функція y = f(x) називається зростаючою (спадаючою) на деякому проміжку, якщо для будь-яких x₁ і x₂, що належать цьому проміжку, із умови x₁>x₂ слідує, що f(x₁)>f(x₂ ) (f(x₁) < f(x₂)).

 Сам цей проміжок називається проміжком зростання (спадання) функції.

 Приклад:

 Зростаюча функція y = 3x+2 .

 Спадаючою є функція у =−7x+1.

Графік функції y=x² з показаними проміжками спадання і зростання

Як бачите, за графіком функції досить легко визначати її проміжки зростання та спадання. Для цього достатньо подивитися, від якого значення і до якого по осі Ox графік іде вгору (функція зростає), і між якими значеннями графік прямує вниз (функція спадає). Отриманні значення x слід записати як межі відповідних проміжків.

Перейдемо до нової теми

Дослідження функцій на монотонність

Опорний конспект

Ознака сталості функції: Якщо f ’(x) = 0 в усіх точках проміжку (а; b), то функція f (x) стала на цьому проміжку.

Ознаки зростання (спадання) функції: Якщо f ’(x) > 0 при всіх хє(a;b), то функція f (x) зростає на цьому проміжку. Якщо  f ’(x) < 0 при всіх хє(a;b), то функція f (x) спадає на цьому проміжку.

Критичними точками функції називаються точки її області визначення, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує.
Щоб знайти критичні точки функції, треба розв’язати рівняння: f '(х) = 0.

Алгоритм дослідження функції на монотонність 

1. Знайти область визначення заданої функції у = f(x).
2. Знайти похідну f '(x).
3. Знайти критичні точки.
4. Відмітити знайдені точки на області визначення, визначити знак похідної на кожному проміжку.
5. Указати проміжки зростання (f '(x) ≥0) та спадання функції (f '(x) ≤0).

Підручник: §21, стор. 190.
№ 21.4, 21.6, 21.8, 21.10, 21.16, 21.18, 21.20.