Приклади (похідні)

   Завдання 1.  Знайдіть похідну функції 

f(x)=3x2+2$f(x)=3x^2+2$ у точці х₀.

Розв’язання

     Знайдемо приріст функції:

Δf=f(x0+Δx)−f(x0)=3(x0+Δx)2+2−3x20−2==3x20+6x0Δx+3Δx2+2−3x20−2=6x0Δx+3Δx2=Δx(6x0+3Δx)$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }f=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=3(x_0+\mathrm{\Delta }x{)}^2+2-3x_0^2-2=\\ =3x_0^2+6x_0\mathrm{\Delta }x+3\mathrm{\Delta }{x}^2+2-3x_0^2-2=6x_0\mathrm{\Delta }x+3\mathrm{\Delta }{x}^2=\mathrm{\Delta }x(6x_0+3\mathrm{\Delta }x)\end{array}$.

     Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

ΔfΔx=Δx(6x0+3Δx)Δx=6x0+3Δx$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }x(6x_0+3\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}=6x_0+3\mathrm{\Delta }x$.

     Знайдемо похідну даної функції в точці х₀:

f′(x0)=limΔx→0ΔfΔx=limΔx→06x0+3Δx=6x0+3⋅0=6x0$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}6x_0+3\mathrm{\Delta }x=6x_0+3\cdot 0=6x_0$.

Відповідь: 6х₀.

    Завдання 2. Знайдіть похідну функції 

f(x)=kx+b$f(x)=kx+b$ (k і b - сталі) у точці х₀.

Розв’язання

     Знайдемо приріст функції:

Δf=f(x0+Δx)−f(x0)=k(x0+Δx)+b−kx0−b==kx0+kΔx−kx0=kΔx$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }f=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=k(x_0+\mathrm{\Delta }x)+b-k{x}_0-b=\\ =k{x}_0+k\mathrm{\Delta }x-k{x}_0=k\mathrm{\Delta }x\end{array}$.

     Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

ΔfΔx=kΔxΔx=k$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{k\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=k$.

     Отже,

f′(x)=limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0k=k$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}k=k$,

або (kx+b)′=k$(kx+b{)}^{\prime }=k$.

Відповідь: k.