Фізичний зміст похідної

• Миттєва швидкість прямолінійного руху. 

Припустимо, що залежність координат матеріальної точки від часу описує функція x(t). Середня швидкість в проміжок часу [t;t+Δt] є відношенням переміщення x(t+Δt)−x(t) до витраченого часу:

vср=x(t+Δt)−x(t)Δt

Щоб обчислити миттєву швидкість, потрібно обчислити середню швидкість в нескінченно малому проміжку часу, тобто, потрібно обчислити границю відношення, якщо Δt прагне до нуля. Якщо ця границя існує, його значення співпадає з x'(t) (згідно з визначенням похідної):

v(t)=limΔt→0x(t+Δt)−x(t)Δt=x'(t)

• Прискорення прямолінійного руху.

Припустимо, що матеріальна точка переміщується по прямій і залежність її швидкості від часу описує функція v(t). Середнє прискорення пересування в проміжку часу  [t;t+Δt] є відношенням зміни швидкості до зміни часу ΔvΔt. Щоб обчислити прискорення в момент часу t, потрібно обчислити границю цього відношення, якщо Δt наближується до нуля. Тому, a(t)=limΔt→0ΔvΔt=v'(t).

Приклад. Задано закон прямолінійного руху  (х - вимірюється у метрах, t - у секундах). Знайдіть швидкість і прискорення в момент часу t = 2с.

Розв’язання.

• Величина струму.

Припустимо, що залежність заряду, що протікає через поперечний переріз проводу, від часу описує функція q(t). Потрібно обчислити величину струму I в який-небудь момент часу. Середню величину струму можна обчислити, як відношення  ΔqΔt.

Миттєва величина струму, це межа цього відношення, якщо зміна часу наближається до нуля, тобто похідна функції q(t):

I=limΔt→0ΔqΔt=q'(t)