Скалярний добуток векторів

У 9 класі під час вивчення векторів у просторі ви вже вивчали скалярний добуток векторів. Поняття скалярного добутку у просторі відрізняється лише тим, що ми додаємо ще одну координату z, як і раніше.

А тепер поговоримо про скалярний добуток у просторі. Знову ж таки мова буде йти про два вектори.

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b. Якщо a = (a_x ; a_y ; a_z) і b = (b_x ; b_y ; b_z) то:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Зараз вам варто пригадати про кути між прямими у просторі.

Кутом між двома векторами, відкладеними від однієї точки, називається найкоротший кут, на який потрібно повернути один з векторів навколо свого початку до положення співнаправленості з іншим вектором.

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| cos α

По суті це і є все. Ми будемо використовувати як першу, так і другу формули.

З цих двох формул випливають формули для обчислення кутів у просторі:

Оскільки де φ - кут між векторами і , то

Оскільки то маємо

Властивості скалярного добутку векторів

1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:
   

   a · a ≥ 0
2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:
   

   a · a = 0   <=>   a = 0
3. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:
   

   a · a = |a|²
4. Операція скалярного добутку комутативна:
   

   a · b = b · a
5. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні (перпендикулярні):
   

   a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b
6. (αa) · b = α(a · b)
7. Операція скалярного добутку дистрибутивна:
   

   (a + b) · c = a · c + b · c

Підручник: §14, стор. 350.
№ 14.2, 14.4, 14.8, 14.12, 14.14, 14.16, 14.21, 14.22, 14.24, 14.26.
Мій клас - буде перевірочна робота

І скидаємо мені домашню роботу) Будь-куди - телеграм, вайбер, інстаграм, фейсбук, пошта