Точки екстремуму

Разом з темою монотонність функції необхідно вивчити точки екстремуму, адже це нерозривні поняття.

Отже, що  таке точки екстремуму? Ми всі знаємо, що функція може набувати свого максимального або мінімального значення. Наприклад, ця функція має мінімальне значення у точці х=0. І це можна говорити про багато інших функцій.

Наприклад, функція y=sinx набуває і мінімального, і максимального значення.

Максимум такої функції знаходиться у точці х=π/2+πk, k ∈ Z, а мінімум у точці х=3π/2+πk, k ∈ Z.  Тобто ми бачимо, що таких точок мінімуму і максимуму є багато.

Отже, точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках - екстремумами функції.

Знаходження точок екстремуму

Опорний конспект

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках - екстремумами функції.

Якщо в точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-» (рухаючись в напрямі зростання х), то х₀ - точка максимуму (мал. 1), а якщо з «-» на «+», то х₀ - точка мінімуму (мал. 2).

Для дослідження у = f(x) на точки екстремуму використовуємо таку схему:

1) Знаходимо область визначення функції у = f '(х).
2) Знаходимо похідну f '(x).
3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f '(x) не існує та розв’язки рівняння f '(х) = 0.
4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f(х) та знаходимо знак похідної f '(х) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку.
5) Якщо в критичній точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-» (рухаючись в напрямі зростання х), то х₀ = x_max (мал. 1). Якщо з «-» на «+», то х₀ = x_min (мал. 2). Якщо ж зміни знаків немає (мал. 1), то х₀  не є точкою екстремуму.

Підручник: §22, стор. 199.
№ 22.5, 22.8, 22.10, 22.12, 22.14.