Координати і довжина вектора

1. Координати вектора

 Координати вектора  , що має початок в точці А і кінець в точці В, дорівнюють різниці відповідних координат точок В і А.

Координати вектора у просторі

     Якщо початком вектора є точка А(х_А;у_А;z_A), а кінцем – точка В(х_В;у_В;z_B), то

2. Довжина вектора

Довжина вектора (абсолютна величина, або модуль) – довжина відрізка, що зображує вектор. Позначення: .

Довжина вектора у просторі

     Якщо є вектор, то = , де  – модуль вектора,  – його координати.

     Одиничним називається вектор , у якого .

     Нульовим називається вектор \, у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

Рівність векторів у просторі

Протилежні вектори у просторі

 

 Приклад 1. Знайдіть координати і довжини векторів  і , якщо А(2;-3;-1), В(-4;-8;5), С(3;1;-2).

Розв’язання

 ( - 4 - 2; - 8 - ( - 3);5 - ( - 1)) =  ( - 6; - 5;6)\];

 (3 - 2;1 - ( - 3); - 2 - ( - 1)) = (1;4; - 1)\];

 = ;

 = .

     Відповідь: , ,\, .

Приклад 2. Дано точки А(-1;3;4), В(0;5;-1), С(х;2;z), D(1;у;-2). Знайти х, у, z, якщо  = .

Розв’язання

3) Оскільки  = , то маємо 1 - х = 1; у - 2 = 2; -2 - z = -5.

Отже, маємо х = 0; у = 4; z = 3.

Модуль вектора (х;у;z) дорівнює 

Приклад 3. Знайти модуль вектора: 

Розв’язання:

Приклад 4. Відомо, що модуль вектора (-4;у;) дорівнює 5. Знайти y.

Розв’язання:

 

За умовою